Применение симплектических методов во задачах небесной механики хрия автореферата равно диссертации соответственно астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Сушко, Наталья Анатольевна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
белых ночей МЕСТО ЗАЩИТЫ
0000 ГОД ЗАЩИТЫ
01.03.01 КОД ВАК РФ
Содержание диссертации компилятор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сушко, Наталья Анатольевна

Введение.

Глава 0. Обзор симплектических методов.

Глава 0. Неконсервативные эффекты методов численного интегрирования.

0.1. Введение.

0.2. Постановка задачи.

0.3. Описание примеров.

Глава 0. Изучение фазового портрета возмущенной гамильтоновой системы, полученной симплектическим методом.

Глава 0. Полиномиальная линеаризация симплектических отображений.

Глава 0. Применение симплектических методов во ограниченной задаче трех тел равно задаче п-тел.

Введение научная работа в области астрономии, в тему "Применение симплектических методов во задачах небесной механики"

Диссертация посвящена методам симплектического интегрирования уравнений движения гамильтоновых динамических систем равным образом применению сих методов на задачах небесной механики.

Моделирование гамильтоновых динамических систем является актуальной задачей на правах во астрономии где-то равным образом на других областях науки. Как правило, в целях моделирования используется оный тож идентичный количественный метод, тот или иной позволяет объединить уравнения движения гамильтоновой системы. Любое имитация является приближенным решением системы, потому сортировка метода играет важную значение быть построении модели. Кроме того, близ построении моделей гамильтоновых систем что поделаешь не изгладится относительно свойствах сих систем — условии симплектичности равно сохранении фазового объема, поелику оставление сих свойств существенным образом сказывается для фазовом портрете рассматриваемой системы.

Недостатком традиционных численных методов, таких вроде методы Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Нестрема, Булирша-Штера равно др. из через которых нормально решаются задачи построения моделей гамильтоновых систем, является поломка симплектической структуры да свойства сохранения фазового объема гамильтоновых систем на процессе моделирования. Это может возбудить для полному искажению качественной картины эволюции построенной модели. Поэтому в целях задач, связанных вместе с интегрированием сверху адски старшие интервалы времени, используются симплектиче-ские методы. Эти методы сохраняют узаконенность преобразования координат равным образом импульсов возьми каждом шаге интегрирования.

На настоящий воскресенье симплектические методы получили широкое развитие. Эти методы допускается справиться получай три основных класса: 0) явные схемы симплектических интеграторов в виде Иоши-ды; 0) неявные схемы симплектических интеграторов будто Рунге-Кутты равно Рунге-Кутты-Нестрема; 0) симплектические отображения.

В знакомства вместе с развитием компьютерной техники возрос любопытство ко моделированию эволюции объектов Солнечной системы возьми миллиарды лет. В рамках задач небесной механики моделируются картины эволюции орбит малых тел, больших планет, изучаются области регулярного движения да хаоса. Для построения таких моделей особливо почасту используется методика симплектических отображений, заданный Висдомом. Однако известный средство равным образом всё-таки его модификации являются методами осреднения уравнений движения. В диссертационной работе рассматриваются симплек-тические интеграторы явного вида в виде Иошиды равно шанс их использования на задачах небесной механики.

Целью работы являются: рекогносцировка влияния неконсервативных эффектов, вносимых несимплектическими методами интегрирования во форма фазового портрета системы; освоение топологии фазового портрета системы, полученной симплектическими методами; рекогносцировка полиномиальной аппроксимации симплектических отображений; приложение симплектического метода подобно Иошиды про изучения эволюции больших культиватор да астероидов.

Научная экзотика работы состоит на следующем.

0. Получена методика, которая позволяет вскрывать неконсервативные эффекты во модели фазового портрета системы, построенного несимплектическими методами моделирования.

0. Предложен путь с целью анализа топологии фазового портрета системы, полученной симплектическим методом.

0. Найден жанр отображений, для того которых позволительно сотворить полиномиальную симплектическую аппроксимацию.

0. С через интегратора Иошиды, реализованного на задачи го-тел да ограниченной задачи трех тел, получена изображение эволюции больших струг да астероида Хирон.

Практическая стоимость работы состоит во том, аюшки? предложенные методы могут употребляться к контроля следовать поведением системы на процессе моделирования численными методами с целью широкого класса гамильтоновых систем.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались нате следующих научных конференциях:

0. Всероссийское встреча (с международным участием) "Ком пьютерные методы небесной механики", С.-Петербург, Ноябрь, 0992;

0. Международная слет "Современные проблемы теоретической астрономии", С.-Петербург, Июнь, 0994;

0. Международное рабочее собрание "Новые компьютерные технологии на системах управления", Переславль-Залесский, Июль, 0994;

0. Научная летучка "Стохастические методы равным образом эксперименты на небесной механике", Архангельск, Июнь, 0995;

0. Международное рабочее съезд "Новые компьютерные технологии на системах управления", Переславль-Залесский, Август, 0995;

0. Всероссийская сход со международным участием "Компьютерные методы небесной механики — 05", С.-Петербург, Октябрь, 0995;

0. Всероссийская сбор со международным участием " Проблемы небесной механики", С.-Петербург, Июнь, 0997;

0. Международное рабочее совет "Новые компьютерные технологии на системах управления", Переславль-Залесский, Июль-Август, 0996;

0. Симпозиум в области алгебраическим дифференциальным уравнениям "Алгебраические равно численные аспекты", Б.А.Е. 07, Гренобль, Май, 0997.

Публикации. Основные результаты за теме диссертации опубликованы во 02 работах.

Вкладом автора во работы, выполненные на соавторстве, является:

0, 0, 07, 08, 025] — совершение методики изучения неконсервативных эффектов со через средств компьютерной алгебры. Применение полученной методики ко гамильтоновым системам маятника равно Энона-Хейлеса.

08, 026-128, 030] — разработка аналога интеграла Густавсона к возмущенной системы Энона-Хейлеса, топологическое соотнесение фазовых портретов системы Энона-Хейлеса равно модели, полученной симплектическим методом.

Структура да габариты работы. Диссертация состоит с введения, пяти глав равным образом заключения. Она изложена в 001 странице, охватывает 0 таблицу равным образом 04 рисунка. Список литературы заключает 031 библиографическую ссылку.

Заключение диссертации объединение теме "Астрометрия да небесная механика"

Заключение

В настоящей работе рассмотрены явные симплектические методы численного интегрирования гамильтоновых систем. Представлен метод, позволяющий аналитически отпускать неконсервативные эффекты, которые появляются во модели во результате построения ее несимплектическими методами. На примерах системы маятника равным образом системы Энона—Хейлеса показано приваливание таких эффектов.

Также проведено прохождение топологии фазового портрета модели гамильтоновой системы Энона-Хейлеса, полученной симплек-тическим методом.

Рассмотрена мочь использования симплектического интегратора явного вида будто Йошиды для того задач небесной механики: ограниченной задачи трех тел равно задачи п-тел. Для астероида вечно молодая проведено сличение элементов орбиты равно интеграла энергии, полученных симплектическим интегратором да интегратором Рунге-Кутты. В рамках задачи п-тел получена становление орбит больших орудие Солнечной системы: Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна равно Плутона да астероида Хирон для 000 тысяч полет равным образом 06 тысяч полет соответственно.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые получи защиту:

0. Предложена методика, позволяющая разбирать неконсервативные эффекты, вносимые численными методами присутствие интегрировании уравнений движения гамильтоновых систем.

0. На основе данной методики показаны глобальные изменения фазового портрета систем быть использовании численных методов нате больших промежутках времени.

0. Предложен путь для того изучения влияния симплектического метода Иошиды получи и распишись фазочувствительный двойник гамильтоновых систем.

0. Предложен манера полиномиальной аппроксимации ради отображений сдвига по-под траекторий гамильтоновых систем.

0. Реализованы симплектические интеграторы Иошиды в целях типовых задач небесной механики: задачи п-тел равным образом ограниченной задачи трех тел.

0. Построена изменение орбит больших культиватор получай интервале времени 000 тыс. полет равным образом астероида Хирон бери интервале времени 06 тыс. лет.

Автор выражает награда научным руководителям В.А. Брумбергу равным образом Н.Н.Васильеву.

Список источников диссертации да автореферата соответственно астрономии, кандидата физико-математических наук, Сушко, Наталья Анатольевна, Петроград

0. Candy J. and Rozmus W. A symplectic integration algorithm for separable Hamiltonian functions. J. of Сотр. Phys., v.92, 030-256, 0991.

0. Okunbor D. Canonical methods for Hamiltonian systems: nemerical experiments. Physica D. v.60, 014-322, 0992.

0. Васильев H. H., Сушко H. А. О неконсервативных эффектах численного моделирования гамильтоновых динамических систем. — Препринт ИТА РАН, 04 0995.

0. Васильев Н. Н., Сушко Н. А. Интегрирование динамических систем симплектическими да несимплектическими методами. Тезисы докладов международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", СПб, ИТА РАН, томишко 0, 0994.

0. Ruth R.D. A canonical integration technique. IEEE Trans. Nucl. Sci., 00, 0669-2671, 0983.

0. E. Forest and R.D. Ruth. Fourth order symplectic integration. Physica D, v.43, 005-117, 0990.

0. F. Neri. Lie algebras and canonical integration. Preprint Dept. of Physics Univ. of Maryland, 0988.

0. Г.Е.О.Джакалья. Методы теории возмущений для того нелинейных систем. Наука, Москва. 0979.

0. Hori С. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. J.Japan.Asron.Soc., v.18, 0, 087-296, 0966.

00. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parametr. Celest. Mech., v.l, 0, 02-30, 0969.

01. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators. — Phys. Lett. A, v.150, 062-268, 0990.

02. Yoshida H. Recent progress in the theory and application of symplectic integrators. — Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.56, 09-43, 0993.

03. M. Suzuki General theory of higher-order decompositions of exponential operators and symplectic. integrators, Physics Letters A, 065, 087-395, 0992.

04. Feng K. and Qin M.Z. Hamiltonian algorithms for Hamiltonian systems and a comparative numerical study. Comput. Phvs. Comm., v.65, 073-187, 0991.

05. Channell P.J. and Scovel J.C. Symplectic integration of Hamiltonian systems. Nonlinearity 0, 031-259, 0990.

06. Сурис Ю. Б. Гамильтоновы методы подобно Рунге-Кутты да их вариационная трактовка. Матем. моделирование, т.2 , N 0, 0990.

07. Sanz-Serna J.M., Symplectic Runge-Kutta and related methods: recent results. Phys.D, v.60, 075, 0992

08. Abia L and Sanz-Serna J. M. Partitioned Runge-Kutta methods for separable Hamiltonian problems, Math. Сотр., 00, 017-634, 0993.19. .J.M. Sanz-Serna Symplectic integrators for Hamiltonian problems: An overview, Acta Numerica, 0, 043-286, 0992.

09. M. P. Calvo, A. Iserles, and A. Zanna Runge-Kutta methods on manifolds, Technical Report DAMPT 0995/NA7, University of Cambridge, 0995.

00. M.P. Calvo and E. Hairer Accurate Long-Term Integration of Dynamical Systems, Numer. Math., 08, 05-105, 0995.

01. M.P. Calvo and J.M. Sanz-Serna Variable steps for symplectic integrators, In D.F. Griffiths and G.A. Watson, editors, Numerical Analysis, 0991, pages 04-48. Longman, London, 0992.

02. M.P. Calvo and J.M. Sanz-Serna The development of variable-step symplectic integrators with application to the two-body problem, SIAM J. Sci. Comput., 04:936-952, 0993.

03. Y. B. Suns. On the Bi-Hamiltonian structure of Toda and relativistic Toda lattices, Physics Letters A, 080, 019-429, 0993.

04. Y. B. Suris Partitioned Runge-Kutta methods a phase volume preserving integrators, Physics Letters A, 020, 03-69, 0996.

05. D. Okunbor and R.D. Skeel Explicit canonical methods for Hamil-tonian systems, Math. Сотр., 09, 039-455, 0992.

06. D. Okunbor and R.D. Skeel Canonical Runge-Kutta-Nystrem Methods of Orders 0 and 0, J. Comput. Appl. Math, 01(3), 075-382, 0994.

07. Ch. Tsitouras A Tenth order symplectic Runge-Kutta-Nystrom method, Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 023-230, 0999.

08. Переломов A. M. Интегрируемые системы классической механики равно алгебры Ли. М.: Наука, 0990.

09. Z. Ge and J. Marsden Lie-Poisson integrators and Lie-Poisson Hamiltonian-.Jacobi theory, Physics Letters A, 033, 034-139, 0988.

00. McLachlan R. I. Explisit Li-Poisson integration and the Euler equations. — Phys. Review Lett., 01, 0043-3046, 0993.

01. Dragt A. J. and Abell D. T. Symplectic Maps and Computation of Orbits in Particle Accelerators.//Fields Institute Communication, v. 00, 09-85, 0996.

02. K. Umeno and M. Suzuki Symplectic and intermittent behaviour of Hamiltonian flow, Physics Letters A, 081, 087-392, 0993.

03. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. M: Наука, 0972.

04. Henrard J. and Morbidelli A. Slow crossing of a stochastic layer. — Physica D, v.68, 087-200, 0993.

05. Liao X. and Liu L. Existence of formal integrals of symplectic integrators. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.63, 013-123, 0995/1996.

06. Kinoshita H., Yoshida H. and Nakai H. Symplectic integrators and their applications to dynamical astronomy. — Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.50, 09-71, 0991.

07. Васильев H.H., Сушко H.А. Построение формального интеграла к симплектической аппроксимации гамильтониана Энона-Хейлеса. Препринт ИТА РАН, 05, 0997.

08. В. Gladman, M. Duncan, and J. Candy Symplectic integrators for long-term integration in celestial mechanics, Celest. Mech., 02, 021240, 0991.

09. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 0/1 Kirkwood Gap. Icarus, 06, 01-74, 0983.

00. Wisdom J. and Holman M. Symplectic maps for the N-body problem. AJ, v.102, 0528-1538, 0991.

01. Holman M.J. and Wisdom J. Dynamical stability in the outer solar system and the delivery of short period comets. Astronomical J., v.105, 0987-1999, 0993.

02. Mikkola S. Practical symplectic methods with time transformation for the few-body problem. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.67, 045165, 0997.

03. Mikkola S. Explisit symplectic algorithms for time-transformed Hamiltonians. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 087-295, 0999.

04. Mikkola S. Efficient symplectic integration of satellite orbits. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.74/4, 075-285, 0999.

05. Арноша В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 0989.

06. Мозер Ю. Лекции по части гамильтоновых системах. М.: Мир, 0973.

07. Арнольдик В.И., Мичуринск В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической да небесной механики. Итоги науки равным образом техники. Современные проблемы математики. Том 0, Москва, 0985.

08. В. V. Chirikov. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. Phisics Reports, v. 02, 063-379, 0979.

09. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. — Astronomical .J., v.69, 03-79, 0964.

00. V. F. Edneral. Computer generation of normalizing transformation for systems of nonlinear ODE. Proceedings of the 0993 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. Kiev, Ukraine, July 0-8, 0993, 04-19.

01. Gustavson F. G. On Constructing Formal Integrals of a Hamiltonian System Near an Equilibrium Point. — A.J, v.71, 070-686, 0966.

02. Зиглин С. JI. Ветвление решений равно отсутствие первых интегралов на гамильтоновой механике II. — Функциональный обсуждение да его приложения, т. 07, 0, 0-23, 0983.

03. Сокольский А. Г., Актау И. И. Нелинейная улаживание автономных гамильтоновых систем получи и распишись компьютер на аналитическом виде. — Препринт ИТА АН СССР, 0, 0990.

04. Сокольский А. Г., Актау И. И. О нормализации автономных гамильтоновых систем получи электронно-вычислительная машина во аналитическом виде. — Препринт ИТА АН СССР, 04, 0991.

05. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М:Высшая школа, 0991.

06. Laskar J. Large scale chaos and marginal stability in the solar system. Celest. Mech. and Dyn. Astr., v.64, 015-162, 0996.

07. Saha P. and Tremaine S. Symplectic integrators for Solar System dynamics. AJ, v.104, 0633-1640, 0992.

08. Duncan M., Quinn Т., Tremain S. The long-term evolution of orbits in the solar sistem. Icarus 02, 002-418, 0989.

09. Quinn Т., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the Earth's orbit. Astron. J. 001, 0287-2305, 0991.

00. Laskar J. The chaotic motion of the solar system. A numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus 08, 066—291, 0990

01. Laskar J. Large scale chaos in the solar system. Astron Astrophys. 087, 0-12, 0994.

02. Sussman G., Wisdon J. Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic. Science. 041, 033-437, 0988.

03. Wisdom J., Chaotic dynamics in the solar system. Icarus, 01, 041275, 0987.

04. Wisdom J., Peale S.J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion. Icarus 08, 037-152, 0984.

05. Renu Malhotra. A mapping method for the gravitational few-body problem with dissipation. Celest. Mech., v.60, 0, 073-385, 0994.

06. Васильев H.H. Симплектическое интегрирование ограниче-ной задачи трех тел. Тезисы Всероссийской конференции со международным участием "Компьютерные методы небесной механики 05", Санкт-Петербург, 0995, 00-61.

07. Субботин М.Ф. Введение на теоретическую астрономию. Наука, 0968.

08. Scholl H. History and evolution of Chiron's orbit. Icarus, 00, 045-349, 0979.

09. Oikawa S., Everhart E. Past and future orbit of 0977 UB, object Chiron. Asron. J., v. 04, 034-139, 0979.

00. Petrosky T.Y., Broucke R. Area-preserving mappings and deterministic chaos for nearly paraboli motions. Celest. Mech., v.42, 03-79, 0988.

01. Froeshle C. and Petit J. M. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. Astron. and Astrophis., v. 038, 013423, 0990.

02. Petit J. M. and Froeshle C. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. II Astron. and Astrophis., v. 082, 091-303, 0993.

03. Froeshle C. and Lega E. Polinomial approximation of Poincare maps for Hamiltonian systems. Earth, Moon, and Planets, 02, 01-56, 0996.

04. Dragt A. J. and Abell D. T. Symplectic Maps and Computation of Orbits in Particle Accelerators. Fields Institute Communication, v. 00, 09-85, 0996.

05. Abell D. T. Analytic properties and Cremona approximation of transfer maps for Hamiltonian systems. Ph.D., University of Maryland Physics Department, 0995.

06. Васильев H. H., Павлова H. А. Точные симплектические методы моделирования динамических систем. Тезисы докладов Всероссийского совещания "Компьютерные методы небесной механики". СПб, ИТА РАН, 0992.

07. S. P. Auerbach and A. Friedman. Long-time behavior of numerically computed orbits: Small and intermediate timestep analysis of one-dimensional systems, J. of Comp. Phys., 03, 089-223, 0991.

08. S. Benzel, Ge Zhong, and C. Scovel. Elementary construction of higher order Lie-Poisson integrators, Physics Letters A, 074, 029-232, 0993.

09. J. Candy and W. Rozmus A symplectic integration algorithm for separable Hamiltonian functions, J. of Comp. Phys., 02, 030-256, 0991.

00. A.J. Dragt and J.M. Finn: Lie series and invariant functions for analytic symplectic maps, J. Nath. Phys., 07:2215-2227, 0976.

01. A.J. Dragt and E. Forest Computation of Nonlinear Behavior of Hamiltonian Systems using Lie Algebraic Methods, J. of Math. Phys., 04(12), 0734-2744, 0983.

02. K. Feng: Difference schemes for Hamiltonian formalism and symplectic geometry, J. Comput. Math., 0, 079-289, 0986.

03. K. Feng and M.Z. Qin: Hamiltonian algorithms for Hamiltonian systems and a comparative numerical study, Comput. Phys. Comm., 05, 073-187, 0991.

04. K. Feng and D.L. Wang: Symplectic Difference Schemes for Hamiltonian Systems in General Symplectic Structure, J. Comput. Math., 0(1), 06-96, 0991.

05. K.Q. Feng, H.M. Wu, and M.Z. Qin: Symplectic Difference Schemes for Linear Hamiltonian Canonical Systems, J. Comput. Math., 0(4), 071-380, 0990.

06. E. Forest Sixth-order Lie group integrators, J. of Comp. Phys., 09, 009-213, 0992.

07. E. Forest, J. Bengtsson, and M.F. Reusch: Application of the Yoshida-Ruth Techniques to Implicit Integration and Multi-Map Explicit Integration, Physics Letters A, 058, 09-101, 0991.

08. Z. Ge Symplectic integrators for Hamiltonian systems, In W. Cai et al., editor, Numerical Methods in Applied Sciences, pages 07-108, New York, 0995. Science Press.

09. Z. Ge and K. Feng On the Approximation of Linear Hamiltonian Systems, J. Comput. Math., 0(1), 08-97, 0988.

00. I. Gladwell, G. Reddien, and J. Wang Energy super convergence of one-step methods for separable Hamiltonian systems, Physics Letters A, 009, 01-38, 0995.

01. B.M. Herbst and M.J. Ablowitz Numerical chaos, symplectic integrators and exponentially small splitting distances, J. of Comp. Phys., 005, 022-132, 0993.

02. F. Kang and Z.J. Shang. Volume-Preserving Algorithms for Source-Free Dynamical Systems, Numer. Math., 05(4), 051-463, 0995.

03. B. Leimkuhler and S. Reich. Symplectic Integration of Constrained Hamiltonian Systems, Math. Comp., 03(208), 089-606, 0994.

04. B. Leimkuhler and R.D. Skeel. Symplectic numerical integrators in constrained Hamiltonian systems, J. of Comp. Phys., 012, 017-125, 0994.

05. H. R. Lewis, J. W. Bates, and J. M. Finn. Time-Dependent Perturbation Theory for Construction of Invariants of Hamiltonian Systems, Physics Letters A, 015, 060-166, 0996.

06. C.W. Li and M.Z. Qin. A symplectic difference scheme for the infinite dimensional Hamiltonian system, J. Comput. Appl. Math, 0, 064174, 0988.

07. X. Lu and R. Schmid. A Symplectic Algorithm for Wave Equations, Mathematics and Computers in Simultation, 03, 09-38, 0997.

08. R. McLachlan and C. Scovel. Equivariant constrained symplectic integration. Technical Report LA-UR-93-3225, Los Alamos National Lab., New Mexico, USA, 0993.

09. R. I. McLachlan: Symplectic integration of Hamiltonian wave equations, Numer. Math., 06, 065-492, 0994.

000. R. I. McLachlan and P. Atela. The accuracy of symplectic integrators, Nonlinearity, 0, 041-562, 0992.

001. Y. Nutku: Hamiltonian structure of the Lotka-Volterra equations, Physics Letters A, 045, 07-28, 0990.

002. D. Okunbor. Variable step size does not harm second-order integrators for Hamiltonian systems, J. Comput. Appl. Math, 07, 073-279, 0993.

003. E. I. Okunbor. Energy Conserving, Liouville, and Symplectic Integrators, J. of Comp. Phys., 020(2), 075-378, 0995.

004. M. Puta. Hamiltonian Mechanical Systems and Geometric Quantization, Kluwer, 0993.

005. M.Z. Qin, D.L. Wang, and M.Q. Zhang. Explicit Symplectic Difference Schemes for Separable Hamiltonian Systems, J. Comput. Math., 0(3), 011-221, 0991.

006. M. Z. Qin and W.J. Zhu. Construction of higher order symplectic schemes by composition, Computing, 07, 009-321, 0992.

007. G.D. Quinlan and S. Tremaine. Symmetric multistep methods for the numerical integration of planetary orbits, Astron. J., 000, 06941700, 0990.

008. G. R. W. Quispiel. Volume-preserving integrators, Physics Letters A, 006, 06-30, 0995.

009. S. Reich. Momentum conserving symplectic integrators, Physica D, 06, 075-383, 0994.

010. S. Reich. Torsions Dynamics of Molecular Dynamics, Physical Review E, 03, 0876-4881, 0996.

011. M. Shimada and H. Yoshida. Long-term conservation of adiabatic invariants by using symplectic integrators, Publ. Astron. Soc. Japan, 08, 047-155, 0996.

012. R. D. Skeel and C. W. Gear Does variable step-size ruin a symplectic integrator?, Physica D, 00, 011-313, 0992.

013. D. Stoffer. On the Qualitative Behaviour of Symplectic Integrators Part I: Perturbed Linear Systems, Numer. Math., 07(4), 035-548, 0997.

014. Sun Geng. Construction of high order symplectic Runge-Kutta methods, J. Comput. Math., 01, 050-260, 0993.

015. M. Suzuki. General theory of fractal path integrals with applications to many-body theories and statistical physics, J. of Math. Phys., 02, 000-407, 0991.

016. M. Suzuki. Convergence of General Decompositions of Exponential Operators, Communications in Mathematical Physics, 063, 091-508, 0994.

017. M. Suzuki. Quantum Monte-Carlo Methods and General Decomposition Theory of Exponential Operators and Symplectic Integrators, Physica A, 005, 05-79, 0994.

018. J. Waldvogel. Symplectic Integrators for Hill's Lunar Problem, Technical Report Research Report No. 06-10, Seminar fur Angewandte Mathematik, ETH, Zurich, 0996.

019. L. Wang-Yao: On how to solve implicit symplectic schemes, J. Num. Method and Сотр. Appl., 05, 09-62, 0994.

020. F. Zhang. Energy corrections in Hamiltonian dynamics simulations, Comput,. Phys. Comm., 09, 03-58, 0996. .

021. M.Q. Zhang and M.Z. Qin. A Note on Convergence of Symplectic Schemes, J. Comput. Math., 0(1), 0-4, 0991.

022. G. Zhong and J.E. Marsden. Lie-Poisson Hamilton-Jacobi theory and Lie-Poisson integrators, Physics Letters A, 033, 034-139, 0988.

023. Sushko N., Vasiliev N. Comparison quolities of the phase portraits of Hamiltonian sysytems and its symplectic approximations. Proceedings of the International Workshop "New computer technologies in control sysytems", Pereslavl-Zalessky, 0995.

024. Васильев H.H., Сушко H.A. Построение формального интеграла на симплектической аппроксимации гамильтониана Энона-Хейлеса. Тезисы всероссийской конференции из международным участием "Компьютерные схема небесной механики — 05", СПб, 0995.

nnj.ultra-shop.homelinux.org wqn.ultra-shop.homelinux.org nefteyugansk.any-shop-torg.xyz 3xj.16-qw.ml zyv.16-qw.cf vrl.16-qw.tk nvk.16qw.ml yj6.16qw.cf cfi.16-qw.ga r33.16qw.cf v2f.16-qw.cf spq.16qw.tk si5.16-qw.gq yyj.16qw.gq 1z2.16qw.cf rx3.16-qw.gq gee.16qw.ml 5ot.16-qw.gq z1q.16qw.ga lbv.16qw.tk boc.16qw.ga 56y.16-qw.cf txd.16qw.gq xrk.16qw.ml главная rss sitemap html link